柯西中值定理证明考研(柯西中值定理？)

积分中值定理表达式为：f(x)dx=f(ξ）(b-a)（a≤ξ≤b)。

若函数f(x)在闭区间上连续，则在积分区间上至少存在一个点ξ，使上式成立。中值定理的主要作用在于理论分析和证明；同时由柯西中值定理还可导出一个求极限的洛必达法则。

积分中值定理在定积分的计算应用中具有重要的作用，下面我们给出几个具体的常见的例子，通过实际应用来加深对积分中值定理的理解。

积分中值定理的作用：

积分中值定理在应用中所起到的重要作用是可以使积分号去掉，或者使复杂的被积函数化为相对简单的被积函数，从而使问题简化。

因此，对于证明有关题设中含有某个函数积分的等式或不等式，或者要证的结论中含有定积分，或者所求的极限式中含有定积分时，一般应考虑使用积分中值定理， 去掉积分号，或者化简被积函数。

构造函数G(x)=f(x)-(x^3)[f(1)-f(0)]

G(1)=f(1)-[f(1)-f(0)]=f(0)

G(0)=f(0)-0=f(0)

由柯西中值定理知

存在一点ξ 使得G'(ξ )=0

G'(x )=f'(x )-3x^2[f(1)-f(0)]

G'(ξ )=f'(ξ )-3ξ^2[f(1)-f(0)]=0

即存在点ξ 使得f'(ξ )=3ξ^2[f(1)-f(0)]